Lettera ad un collega sulla questione del rigore e delle dimostrazioni
nell'insegnamento della matematica.

 
Mauro Cerasoli

 
Da un articolo pubblicato su «La Matematica e la sua didattica» Nr. 4/1995 (Pag.464-469)

Caro collega,
siamo sicuri che per i matematici non vale il dubbio amletico "Questo è il problema: dimostrare o non dimostrare?". La risposta è una sola: dimostrare rigorosamente tutto!

 1. Dimostrare, ma non tutto.
Il tarlo del rigore e della precisione, della prova, la cosiddetta sindrome di San Tommaso (il primo che ebbe a soffrirne, guarito soltanto dopo aver ficcato le dita nelle ferite del costato di Cristo) ci toglie il sonno la notte. Ma soprattutto non fa dormire i nostri studenti di scuola costretti (si fa per dire) a passare notti insonni per imparare la dimostrazione del teorema di Talete o del fatto, tanto ovvio per le loro menti giovani e aperte alla vita (basta fare bene la figura), che l'intersezione delle tre mediane di un triangolo è un punto. E' anche vero che si può incontrare qualche studente complice perché convinto, giustamente, che in matematica non si crede alle cose: le si dimostrano. Le affermazioni matematiche vanno provate, dimostrate, senza dubbi ed incertezze. Ma lo stesso studente, in casi come quelli degli esempi precedenti, comincia a dubitare del suo credo. Quando iniziamo a dimostrare che una funzione continua su un intervallo chiuso ammette almeno un punto di minimo ed un punto di massimo, comincia a chiedersi: ma perché bisogna dimostrarlo? E' tanto evidente che è vero! In fondo non ha tutti i torti perché la pensavano così anche i grandi Newton e Leibniz. Le cose andarono bene fino a quando il vescovo Berkeley non ci mise lo zampino. "Voi siete come noi cattolici, affermate delle cose alle quali bisogna praticamente credere, così come noi crediamo in Dio. La matematica è simile alla religione", continuava a ripetere il vescovo-tarlo. Ma qualche altro fine pensatore, come D'Alembert, che aveva capito il grosso problema che stava sotto, consigliava, come ti suggerisco anch'io, caro collega: Allez en avant, la foi vous viendra!. Ed, infatti, in barba alle critiche di Berkeley e dei successivi fondamenti assiomatici di Weierstrass dell'Analisi Matematica, gli uomini sono andati sulla Luna e si accingono a costruire grattacieli alti cinque chilometri (per non parlare dei calcolatori simili a quello con cui ti sto scrivendo questa lettera ma che molti nostri colleghi disdegnano di insegnare ad usare). A proposito, ti ricordi la domanda di Ramsey a Wittgenstein mentre stavano attraversando un ponte sul Tamigi? "Ammesso che esista una contraddizione negli assiomi della teoria degli insiemi, credi veramente che questo ponte possa crollare?".
Ma ritorniamo all'esempio dell'Analisi. I concetti espressi intuitivamente da Newton e Leibniz furono precisati matematicamente. I teoremi di Rolle, Lagrange, Cauchy, Torricelli-Barrow (per fare solo quattro esempi famosi e noti ai nostri studenti) furono dimostrati rigorosamente. Oggi queste dimostrazioni vengono richieste anche agli esami: sono nel programma ministeriale! Ora, vedi caro collega, dal punto di vista didattico, cioè ai fini di un migliore insegnamento della matematica che tenda a non far scappare gli studenti, a non far dire "io sono negato per la matematica", per me è più utile ed onesto far vedere le applicazioni di questi quattro teoremi piuttosto che pretenderne le dimostrazioni. Ad esempio illustrare come dal teorema di Lagrange discende semplicemente ed intuitivamente, ma sempre con un linguaggio rigoroso, se si vuole, lo sviluppo di Taylor di una funzione.
Il tempo risparmiato a non fare le quattro dimostrazioni potrebbe essere saggiamente utilizzato per far vedere, ad esempio, (la cosa non è difficile) che sen xè praticamente uguale a x-x3/6 quando x è piccolo, con un semplice ma intelligente uso della calcolatrice tascabile. Oppure, si potrebbe illustrare l'algoritmo inventato da Kiefer (Sequential minimax search for a maximum, Proc. Amer. Math. Soc. 1953 p. 503-506), fondato sui numeri di Fibonacci, per determinare i massimi e i minimi di funzioni continue, ma non derivabili proprio in quei punti (quelle con il modulo, per intenderci). Così gli studenti sapranno che i concetti di massimo e di minimo non sono correlati necessariamente a quello di derivata. Ricordati inoltre che Poincaré diceva: "Se so che una cosa deve essere giusta, perché dovrei preoccuparmi di dimostrarla?"

 2. Le applicazioni della matematica rendono assai
Il Ministero della Pubblica Istruzione, caro collega, paga i docenti per insegnare la matematica, non per dimostrare teoremi. Per dimostrare teoremi, cioè per fare ricerca, il nostro ministero, il MURST, ci dà solo i fondi del 60% e del 40%che, per quanto mi riguarda, ammontano all'incirca ad 1/30 dello stipendio lordo annuale. Ma c'è di più: una circolare ministeriale di qualche anno fa diceva che se un professore universitario di ruolo a tempo pieno non avesse fatto almeno le sue 350 ore annuali di attività didattica stabilite per legge, avrebbe dovuto rimborsare all'amministrazione una somma direttamente proporzionale alle ore mancanti a 350.
Insomma, caro collega, la società, il popolo italiano, la Confindustria, chiama come ti pare il nostro datore di lavoro, ci paga per insegnare matematica, non per dimostrare teoremi: è chiara la differenza? Ma qui è il punto: quale matematica insegnare? Quella sancita dai programmi, ovviamente, che è pura e applicata! In genere, come tu ben sai, i matematici insegnano solo quella pura! Perché sporcarsi le mani con le applicazioni? E' già troppo se ce le sporchiamo con il gesso: non siamo noi anche filosofi?
A proposito di applicazioni della matematica, ti voglio raccontare una storia della mia vita per farti capire che è grave ignorarle. Ti sei mai chiesto qual è (o qual è stata) l'applicazione pratica più semplice e più frequente del teorema di Pitagora? Certo non quella che credono i nostri giovani laureati in matematica e a cui, probabilmente, stai pensando. Insegnavo già all'università quando un semplice ma bravo muratore (pare che questi siano stati i primi matematici seri nella storia dell'umanità: mattone e matematica non hanno niente in comune?) mi rivelò, nell'estate del '76, un metodo per squadrare il terreno dove io e mio padre avevamo deciso di costruire un pollaio. Piantò un paletto in uno dei vertici del futuro rettangolo base del pollaio. Poi mi diede una cordicella dicendomi di tenerla ad un'estremità. Egli prese l'altra estremità e la passò intorno al paletto tendendola. "Tienila in modo che da una parte del paletto ci siano 80 e dall'altra 60 cm - mi disse il muratore- poi muoviamo le estremità fino a quando sono ad un metro di distanza: allora è fatto lo squadro!". Voleva dire che quando la cordicella formava un triangolo di lati 80, 60 e100 cm, il paletto era il vertice di un angolo retto: l'inverso di un caso particolare del teorema di Pitagora! Un trucco noto fin dal tempo dei Babilonesi ed io lo ignoravo, dopo cinque annidi liceo e sebbene avessi sostenuto quindici esami, con ottimi voti, per laurearmi in matematica! Confesso che mentii dicendo che conoscevo bene il trucco perché lo avevano inventato i matematici. Poi gli parlai del teorema di Pitagora e delle terne pitagoriche: in qualche modo dovevo rifarmi dello smacco subìto! Quanti dei nostri giovani laureati in matematica conoscono l'inverso del teorema di Pitagora e questa sua naturale applicazione? Scommetto pochissimi! Dovendo buttare giù dalla torre la dimostrazione del teorema di Pitagora o la sua applicazione, quale sceglieresti?
Ma parliamo di un altro esempio clamoroso delle applicazioni della matematica: la statistica. Se uno studente ha seguito un corso avanzato di Calcolo delle Probabilità quasi certamente ha visto la dimostrazione del teorema centrale basata sul teorema di continuità di Levy. Ma altrettanto quasi certo è che non ha mai visto la dimostrazione del teorema di Levy (anche perché sui libri di Probabilità in genere non c'è, essendo questo un argomento ritenuto più di Analisi che di Probabilità) né tantomeno qualche applicazione statistica del teorema centrale
Da alcuni anni nel mio corso di Calcolo delle Probabilità, per gli studenti del terzo anno di Matematica, tralascio la dimostrazione del teorema centrale, ma spendo (diciamo così) quasi un mese a far vedere le sue applicazioni nei vari campi della scienza. Queste, infatti, caro collega, mi permettono di avere ottimi rapporti con i presidi delle Facoltà di Ingegneria, Medicina, Economia avendovi tenuto a supplenza dei corsi di Probabilità e Statistica, oltre che con il preside della mia Facoltà di Scienze, dove sono impegnato a tenere analoghe supplenze nei corsi di laurea in Informatica e Scienze Ambientali.
Abacus, la Doxa ed altri istituti famosi ci hanno convinto ormai che anche la politica è una questione di statistica (cioè di Calcolo delle Probabilità).Non a caso la Deutsche BundesBank, nel 1989, ha stampato una banconota da dieci marchi con il simpatico volto di Gauss e con la sua famosa curva a campana, compresa l'equazione.
Sempre a proposito delle applicazioni pratiche, Gian Carlo Rota così ha scritto: "La teoria statistica dei grandi campioni e il metodo straordinariamente accurato del bootstrap scoperto di recente, hanno reso possibile un'estrema precisione nel controllo del comportamento di massa, soprattutto [...] nelle manovre elettorali. L'informatizzazione delle strategie elettorali e dei sondaggi di opinione, l'utilizzo mirato della propaganda per via postale, la manipolazione dei distretti elettorali, permettono di ottenere successo nelle elezioni con un livello di fiducia vicino al 95% e un costo relativamente basso. Possiamo chiederci cosa ne sarà della democrazia in quest'epoca di vincitori prestabiliti" (Pensieri Discreti, Garzanti, 1993). Come vedi, caro collega, ignorare le applicazioni della matematica potrebbe essere fatale. Purtroppo non è solo il problema delle applicazioni a far soffrire l'insegnamento della matematica, c'è anche quello dei contenuti. Ma su questo argomento ti consiglio di leggere la mia lettera pubblicata sul NUMI del marzo 1992 a proposito della "disaffezione dei matematici nei confronti dell'UMI".

 3. Precisione, assiomatica, dimostrazioni: con quali risultati?
"Uno dei più insidiosi pregiudizi del nostro secolo è quello che un concetto debba essere definito con precisione per aver senso, o che un ragionamento debba essere comunque presentato a rigor di logica matematica." La più emblematica e lapidaria espressione di questo pregiudizio la si trova alla fine del Tractatuslogico-philosophicus di Wittgenstein. Poi, per tutto il resto della sua vita, l'autore cercò di rimangiarsi queste parole, e le Philosophische Untersuchungen nel loro insieme sono una ripetuta abiura della sua gaffe giovanile. Perfino dal punto di vista del semplice buon senso, l'ideale della precisione ci appare assurdo. I nostri ragionamenti quotidiani non sono per nulla precisi, eppure raggiungono il loro scopo. La natura stessa, dall'universo al gene, è approssimata e imprecisa. [...] Confondere la matematica con l'assiomatica è come confondere la musica di Vivaldi con le tecniche di contrappunto dell'età barocca. [...] Si sente spesso dire che compito della matematica è quello di dimostrare teoremi. Se ciò fosse vero dovremmo coerentemente affermare che compito di uno scrittore è quello di scrivere delle frasi. Azzardiamo al contrario l'ipotesi secondo cui per un matematico lavorare è un intrecciarsi di ipotesi, analogie, speranze e frustrazioni.". Questi sono alcuni dei Pensieri Discreti di Rota sul mito della precisione, sull'assiomatica e sulle dimostrazioni. Vorrei aggiungere che se anche fosse compito del matematico "dare definizioni precise, fondare assiomaticamente teorie, dimostrare con rigore teoremi", sicuramente questo non sarebbe il compito dell'insegnante di matematica. Sarebbe certo uno dei compiti dell'insegnante universitario, oltre che del ricercatore, perché, bando agli equivoci, non vorrei farti pensare, caro collega, che io mi astenga dal fondare assiomaticamente, dimostrare teoremi, ecc. nei miei corsi universitari. Voglio solo dire che ci vuole un taglio, una bella aurea sectio che butti a mare finalmente tutto quanto c'è di stupido ed inutile nell'insegnamento della matematica, a cominciare dai testi scolastici e dal loro astronomico peso.
Nonostante i convegni, i congressi i corsi di aggiornamento, gli IRRSAE, il Piano Nazionale dell'Informatica, i nuclei di ricerca didattica del CNR, la CIIM, la Mathesis, l'UMI, ecc. alle Olimpiadi della Matematica del 1994 ci siamo classificati al 36 posto su 69 paesi partecipanti. E cosa dire poi della partecipazione italiana all'International Congress of Mathematicians di Zurigo, sempre del 1994? Prima di rispondere conviene osservare attentamente la seguente tabella, da me ricavata con i dati forniti dal Prof. Giuseppe Anichini (NUMI, Agosto 94, p.58-67). Nella prima colonna è riportato il numero delle short communications (15 minuti, suppongo) per ciascuna sezione del congresso mentre nelle altre colonne è riportato il numero di Invited Lectures(di 45 minuti), per ciascuna nazione. Non ho riportato, per questioni di spazio, le nazioni che hanno avuto una sola lecture, cioè: Brasile, Olanda, Spagna, Ucraina, Danimarca, Belgio, Finlandia, Ungheria e quelle con due: Cina, Australia e Italia. Gli italiani che hanno avuto una invited lecture sono stati R. Longo (Fisica Matematica) e U. Bottazzini (ICHM).Le sigle significano: US = Stati Uniti, FR = Francia, GE = Germania, IN = Inghilterra, RU = Russia, SV = Svizzera, IS = Israele, GI= Giappone, CA = Canada, ID = India

 

..USFRGEINRUSVISGICAID
Conferenze GeneraliSC1121.11....
Logica1021........
Algebra9211..111..1
Teoria dei Numeri393112....1.
Geometria578112......
Topologia4381........
Geom.Algebrica28212.1..1..
Gruppi di Lie e Rappres.433211.1...1
Analisi Reale e Complessa10662.....1..
Analisi Funionale882.12....1.
Probab. e Statistica693.2....121
Eq. Differenziali Parz.9992.....1..
Eq. Diff. Ord. Sistemi Din.8231..2.....
Fisica Matematica6051...1..1.
Combinatorica244...1.1...
Mat. del Computer102..1..2...
Analisi Numerica58311.......
Matematica Applicata4163..1.....
Didatt. Divulg. Matematica162.........
Storia Matematica81.1.......
Let. ICMI ICHM.3213.1..1.
Altre.2.....1...

 4. Cogito ergo sum
Un altro grave malinteso, a proposito della matematica, è quello della gente comune che affida al matematico il compito di fare i conti e i calcoli. Per fortuna la matematica è esattamente l'opposto di quello che crede l'uomo della strada. Come diceva Chisini, e qualche altro prima di lui, la matematica è la scienza che insegna a non fare i conti. Ci sono tanti esempi nella storia di questa disciplina che danno ragione a Chisini. Uno di questi, forse il più famoso, è il trucco che utilizzò Gauss, da scolaro delle elementari, per calcolare la somma dei numeri da uno a cento. A proposito, ma Carl Friedrich non era quello che diceva ai suoi colleghi: "Voi datemi i teoremi, alle dimostrazioni ci penso io!"?
Ma allora, caro collega, se il principale compito del matematico non è quello di dimostrare né di calcolare, a quale albo professionale deve iscriversi per guadagnarsi il pane? In particolare cosa deve onestamente fare quando insegna la matematica? Forse la risposta a questa tremenda domanda è la stessa che Claire, la figliola di Stanislaw Ulam, diede un giorno ad un bambino, vicino di casa, che lei stava osservando giocare a palla col padre. Il bambino le aveva chiesto se anche suo padre giocasse qualche volta a palla con lei. "No! No! All my father does is think, think, think! Nothing but think!" (No! No! Tutto ciò che fa mio padre è think, think, think! Nient'altro che think!). Sul mio vocabolario, alla voce think, corrisponde in italiano: pensare, meditare, riflettere, considerare, credere, giudicare, opinare, ritenere, supporre, parere, sembrare. Cosa pensi che volesse intendere la piccola Claire del lavoro del padre, cioè di uno dei più grandi matematici e fisici di questo secolo? Il buon senso ci suggerisce il primo: pensare. Ma pensare non è compito dei filosofi? Sì, è vero, ma è anche vero, e qui sarai d'accordo, che la matematica è quella cosa a cui cominciano a pensare i filosofi quando decidono di discutere di cose serie, cioè quando cominciano a fare sul serio. D'altronde non diceva il nostro grande maestro francese: Cogito, ergo sum?
Ecco perché i nostri ragazzi non vincono le olimpiadi e cala il numero dei brevetti registrati da scienziati italiani: perché molti docenti insegnano sempre e solo a calcolare e a dimostrare, pochi invece insegnano a pensare. A ciò va aggiunto ovviamente il disastro arrecato alla didattica della matematica da filosofi come Croce e Gentile.
Voglio raccontarti il seguente aneddoto relativo a Mitchell Feigenbaum, lo scopritore della costante universale 4.6692016609... della teoria del caos, ormai importante alla stregua dei classici numeri
p ed e. Il brano è ripreso dal volume "Caos" di James Gleick, edito nel 1989 da Rizzoli. "Feigenbaum ricordava spesso di aver presentato la sua teoria a un pubblico distinto al convegno di Los Alamos in settembre. Aveva appena cominciato a descrivere la sua ricerca quando l'eminente matematico Marc Kac si alzò in piedi a chiedere: "Signore, lei intende offrire dei calcoli o una dimostrazione?". Qualcosa di più dei primi e di meno della seconda, rispose Feigenbaum." Questo è ciò che qualsiasi persona ragionevole chiamerebbe una dimostrazione?" Feigenbaum disse che gli ascoltatori avrebbero dovuto giudicare da sé. Dopo aver parlato, chiese il parere di Kac, il quale rispose con una r vibrante sardonicamente: "Sì, è davvero la dimostrazione di una persona ragionevole. I particolari possono essere lasciati ai matematici r-r-rigorosi".
Dimostri un teorema (o fai un calcolo): hai mai pensato che si può sempre dimostrare (o calcolare) in modo più semplice e quindi elegante? Ti ricordi, per esempio, il teorema dei numeri primi? Scusami, capisco l'incomprensione, avevo dimenticato che dalle università italiane è sparita l'aritmetica, quella che oggi va sotto il nome di teoria dei numeri, peccato! Comunque permettimi un ricordo. Una volta Gauss (sempre lui!) si accorse che la densità dei numeri primi, cioè il rapporto tra il numero di primi fino ad n ed n stesso, sembrava essere asintoticamente uguale a 1/log n. Ma non seppe dare una dimostrazione di tale scoperta. Questa venne più di mezzo secolo dopo, nel 1896, ad opera di Hadamarde de la Vallée Poussin. Una dimostrazione lunga e noiosa che, purtroppo, non utilizzava affatto le proprietà aritmetiche dei numeri primi, ma sofisticati calcoli integrali: l'analisi aveva invaso l'aritmetica. Un altro mezzo secolo più tardi, nel 1949, Erdos e Selberg, diedero una dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi, basata stavolta solo su proprietà aritmetiche, ma molto intricata e lunga cinquanta pagine. La storia però non è finita: nel 1969 Levinson ha dato una dimostrazione veramente elementare del teorema tanto è vero che è stata pubblicata sull'Amer. Math. Monthly, un mensile letto soprattutto da insegnanti delle scuole medie superiori. Sono pronto a scommettere che, prima o poi, una dimostrazione di questo teorema andrà a finire su Novella 2000.

 5. Un buon matematico non è necessariamente un buon soggetto
Ai Soloni, che tuonano sentenze a favore del rigore e delle dimostrazioni, vorrei ricordare alcune vecchie storie per avvisare che, in generale, essere buon matematico non significa essere necessariamente un buon soggetto (come soleva ripetere John Kemeny, l'inventore del linguaggio BASIC). Ad esempio, racconta sempre Rota nei suoi Pensieri Discreti: "C'era una volta all'Università di Terranova il professor Smith (uno pseudonimo, caro collega, per William Tutte, uno dei maggiori specialisti di teoria dei grafi, come mi ha confidato Rota), il cui campo di ricerca era lo studio del problema di suddividere rettangoli in altri rettangoli più piccoli, magari mediante algoritmi efficaci, problema che di primo acchito può sembrare un po' marginale. I suoi ponderosi e frequenti lavori, purtroppo, venivano sistematicamente rifiutati dagli Annals of Mathematics di Princeton, ma infine, in ossequio alla libertà di espressione, trovavano accoglienza su riviste rispettabili ma remote, quali gli Annali della Facoltà di Scienze dell'Università della Carolina del Sud. Dopo tutto, le sue teorie erano tutt'altro che banali, sebbene i matematici non capissero a che cosa potessero servire. Recentemente un gruppo di tecnici dell'IBM si è recato in pellegrinaggio a Terranova. Come mai? Era saltato fuori che le maschere che producono chips richiedono appunto un algoritmo veloce che permetta di tagliare rettangoli in rettangoli più piccoli. La realizzazione di un tale algoritmo smuoveva un giro di affari di milioni di dollari".
Questo racconto è uno dei tanti esempi di panni sporchi di cui è piena la storia della matematica. Non dimenticare che Cauchy cestinava tranquillamente le lettere sulla teoria dei gruppi che gli spediva il povero Galois, lettere il cui contenuto è servito anni più tardi ai chimici per vincere premi Nobel e a molti nostri colleghi per andare in cattedra. E risalendo ancora più indietro nel tempo, sempre a proposito di dimostrazioni e carattere dei matematici, ci vollero i mercanti pisani per dimostrare che le cifre arabe, strani segni riportati dall'Africa da quel brav'uomo di Leonardo figlio di Bonaccio, erano utilissimi per fare i conti in fretta e semplicemente. Ma gli abacisti lo andavano cercando per bruciarlo sul rogo, incitati anche dal vescovo di Pisa. Leonardo infatti con le sue cifre, inventate dagli Arabi infedeli e musulmani, disturbava i loro lauti guadagni fondati sulla didattica dell'abaco (le ripetizioni private di oggi).
Fibonacci, come racconta la storia, si salvò, fuggendo velocemente da Pisa, non si salvò invece Ippaso da Metaponto, reo di aver scoperto che la lunghezza del lato del pentagono regolare (come la diagonale del quadrato), inscritto nella circonferenza di raggio unitario, non si può esprimere come rapporto di due numeri naturali. Il cattedratico dell'epoca, il fuggitivo da Samo, l'inventore della tabellina pitagorica, non aveva sopportato questa scoperta ritenuta un affronto alle sue teorie matematiche e filosofiche. E Gauss non disse che avrebbe smesso di occuparsi delle geometrie non euclidee per non sollevare le grida dei beoti? E non parliamo di Laplace, che prima fu ministro della pubblica istruzione con Napoleone e poi fu uno dei primi a firmare l'esilio dell'imperatore a Sant'Elena, dopo la disfatta di Waterloo.
Della lite tra Cantor e Kronecker è meglio tacere; così pure dei danni causati dai bourbakisti all'insegnamento della matematica. Benoit Mandelbrot, lo scopritore dei frattali, fuggì da loro e dalla Francia. Sebbene le sue clamorose scoperte oggi siano note in videocassetta anche ai venditori di cavolfiori e siano utili per i più profondi studi di fisica teorica sul caos, i bourbakisti continuavano a ripetere che qualsiasi cosa fosse Mandelbrot, non era uno di loro.

 6. Più cultura e meno dimostrazioni rigorose
In conclusione, alla dimostrazione di un teorema preferisco, caro collega, tantissimi esempi concreti del concetto matematico in questione e numerosi esempi di applicazione, sempre più concrete, del risultato del teorema. In altre parole più cultura all'interno della matematica e meno metodo ipotetico-deduttivo: dare più aria fresca e nuova sana vita all'insegnamento della matematica. Diceva Lucio Lombardo Radice: "Viviamo in una società che non ci chiede di inventare, che non ci stimola a creare. Se avessi pensato (se pensassi) che la matematica è solo tecnica e non anche cultura generale, solo calcolo e non anche filosofia, cioè pensiero valido per tutti, non avrei fatto il matematico".
Quando si insegna un nuovo concetto, occorre sentirsi in dovere di dare allo studente (che paga tasse salate per seguire le lezioni)gli esempi più semplici ed interessanti di quel concetto. Sono d'accordo sul fatto che non è facile stabilire ciò che è semplice e ciò che è interessante per uno studente, ma in certi casi, tra due esempi a disposizione, è sempre possibile scegliere con criterio. Comunque vale l'imperativo categorico: dare esempi semplici, interessanti e possibilmente belli, che non si scordano mai.
Voglio farti un esempio concreto di cultura matematica, scegliendo il concetto di limite di una successione. Quando si parla di questo argomento, dopo aver detto che 1/n converge a 0 e cose più o meno simili, si passa subito al limite di (1+1/n)n che è e. Il salto è notevole! Si passa da un limite semplice come quello di 1/n, potrei dire banale, ad un limite serio, tosto (come direbbero gli studenti di oggi). Naturalmente la maggior parte degli altri limiti è spazzatura in quanto, oltre a qualche limite notevole come quello di nsen(1/n), tutti gli altri sono esempi di calcoli lunghi, noiosi ed inutili. Allora la domanda è: ma c'è un esempio di limite di successione che non sia così semplice come il primo ma neppure complicato come il secondo e che abbia qualche interessante applicazione, che abbia un carattere culturale, da potersi raccontare al collega insegnante di lettere? Sì, è vero che anche il limite che porta al numero e ha interessanti interpretazioni finanziarie (strozzinaggio al 100%), ma devi pure ammettere che nei testi sacri di analisi matematica raramente compaiono esempi concreti di applicazioni all'economia, alla fisica o alla biologia.
Un esempio bellissimo di limite è quello della sezione aurea. Prendi infatti la successione di Fibonacci 1, 1, 2,3, 5, 8, 13, 21, 34, ecc. e fai il rapporto tra due termini consecutivi. Ottieni quella che ho chiamato la successione di Fidia 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, ecc. Puoi vedere sperimentalmente, cioè in modo non proprio rigoroso, facendo un po' di divisioni con una calcolatrice, che la successione fin dai primi termini converge al numero 0,61803 circa. Puoi trovare poi il valore esatto [(radq(5)-1)/2], considerando che ogni termine fn della successione di Fibonacci è la somma dei due immediatamente precedenti: fn= fn-1+ fn-2. Ora dividi entrambi i membri per fn-1 e procedi supponendo che la successione dei rapporti abbia limite. Fatto ciò puoi parlare ai tuoi studenti, presente il preside e il collega di lettere (ma a questo puntoti conviene tenere nell'aula magna del tuo istituto una conferenza dal titolo "La bellezza è un numero d'oro" invitando tutti i cittadini) della sezione aurea, di architettura, di arte, di Policleto, di Vitruvio, di stelle marine, gatti, cani, cavalli, scarabei, ombelichi (l'ombelico divide il corpo umano in sezione aurea), top-model, del nautilus, di cavolfiori, di pigne, ecc. Insomma puoi parlare di tutto ciò che è bello, del numero d'oro e della sua onnipresenza in natura, del fatto che la divina proporzione c'era milioni e milioni di anni fa (quando non esisteva la razza umana) e che ci sarà ancora tra miliardi di anni (quando nessun uomo forse sarà su questa terra).
 
Un sincero saluto ed un augurio di buon lavoro,
tuo Mauro.