4 - Disposizioni semplici.

Apportiamo qualche variazione alle tre regole fissate, che avevano dato luogo alle permutazioni semplici.

  • consideriamo sempre un unsieme di n oggetti, tutti differenti;
  • ogni disposizione contiene esattamente k oggetti (k £ n), senza mai usare più di una volta uno stesso oggetto;
  • per ottenere le varie disposizioni, si possono sostituire uno o più oggetti con altrettanti di quelli rimanenti, oppure variare l'ordine con cui sono disposti (o fare entrambe le cose).
Ad esempio, un bimbo gioca con 5 tesserine, ciascuna delle quali reca impressa una lettera diversa, e forma parole di tre lettere, oppure un gruppo di persone elegge un presidente, un vicepresidente e un segretario, oppure si realizzano bandierine tricolori (con tre colori tutti diversi), utilizzando una tavolozza di cinque colori, ecc. Questo tipo di combinazioni sono definite disposizioni semplici di n elementi di classe k ed indicate con il simbolo (n)k .
La situazione è abbastanza simile a quella già vista in precedenza, con la differenza che il nostro grafo ad albero arresta la sua crescita dopo k ramificazioni, anziché arrivare necessariamente fino all'ultimo ramo. Ovviamente si arresta anche il calcolo del fattoriale decrescente, che serve per calcolare il numero di disposizioni semplici.
Ad esempio, nel caso di un presidente, un vice presidente ed un segretario, scelti fra i 20 soci di una cooperativa, avremo un presidente scelto tra tutti i 20 soci, un vicepresidente scelto tra i 19 soci rimasti ed un segretario scelto fra gli ultimi 18 soci . Per calcolare il numero di tutte le disposizioni, si dovrà moltiplicare:
 
20 × 19 × 18 = 6.840

Chiameremo fattoriale decrescente il prodotto di k fattori decrescenti a partire da n, il cui valore è:
 
(n)k = n (n-1) (n-2) ... (n-k+1)

Ad esempio, con cinque lettere dell'alfabeto, si possono scrivere (5 × 4 × 3) parole di tre lettere, cioè le seguenti 60 parole:
 
ABCABDABEACBACDACEADBADCADEAEBAECAED
BACBADBAEBCABCDBCEBDABDBBDCBEABECBED
CABCADCAECBACBDCBECDACDBCDECEACEBCED
DABDACDAEDBADBCDBEDCADCBDCEDEADEBDEC
EABEACEADEBAEBCEBDECAECBECDEDAEDBEDC

Il valore k può essere minore o uguale ad n. E' facile capire che, per k=n, le disposizioni semplici non sono altro che permutazioni semplici di n elementi viste al paragrafo precedente, indicate però con n! in luogo di (n)n .