Prova di matematica all'esame di Stato e potenze dei numeri naturali

Rocco Brunetti [*]

Sunto: Partendo dalla curiosità sollecitata da un quesito assegnato agli esami di Stato, si ricava una formula ricorsiva per il calcolo della somma delle potenze di grado k dei primi n numeri naturali.


1 - Premessa


La prova di matematica della sessione ordinaria 2003 dell'esame di Stato del liceo scientifico di ordinamento comprendeva il seguente quesito:

Considerati i primi n numeri naturali a partire da 1:
1, 2, 3, 4, ...., n
moltiplicarli combinandoli in tutti i modi possibili. La somma dei prodotti ottenuti risulta uguale a:

A)B) C) D)

Una sola risposta è corretta: individuarla e fornire una spiegazione esauriente della scelta operata.

La risposta corretta è la A) è può essere giustificata come segue.
Per ottenere tutti i possibili prodotti, moltiplichiamo i primi n numeri naturali per 1, 2, 3, ..., (n-1), n, ottenendo il seguente quadro:

11, 21, 31, ...,(n-1)1, n1
12, 22, 32, ...,(n-1)2, n2
13, 23, 33, ...,(n-1)3, n3
..............................
1n, 2n, 3n, ...,(n-1)n, nn


Sommando i prodotti per colonna e indicando con Stot la somma richiesta e con Sn la somma dei primi n numeri naturali, si ottiene:


 (1.1)

Da cui, mettendo in evidenza Sn, si ottiene:


 (1.2)

La lettura e la risoluzione del quesito sollecitano due curiosità: quella di ritrovare una formula generale per calcolare le somme delle potenze dei primi n numeri naturali con dato esponente e poi quella di vedere se anche le espressioni delle altre risposte proposte hanno una qualche relazione con esse.

2 - Somma delle potenze dei primi numeri naturali allo stesso esponente naturale

Fissati i numeri naturali n e k, poniamo:


 (2.1)

Per k=0 si ottiene Sn,0 = n; per k=1 si ottiene facilmente


 (2.2)

Allo scopo di trovare una formula che ci consenta di calcolare Sn,k per ogni valore di n e di k, consideriamo l'identità

Assegnando a p, nella precedente identità, i valori naturali da 1 ad n, si ottengono le n uguaglianze:




...................................
 

Sommando membro a membro le n uguaglianze, si ottiene:


 (2.3)

Esplicitando nella (2.3) il secondo membro e ricavando Sn,k , si ottiene la formula che, tenendo conto che risulta Sn,0 = n, ci consente di calcolare la somma delle potenze di grado k dei primi n numeri naturali per ogni valore di k e di n.


 (2.4)

Dalla (2.4), tenuto conto della (2.2), possono essere ottenute facilmente le somme dei quadrati, dei cubi e delle quarte potenze.

Tenuto conto della (2.4), possiamo osservare che Sn,k è sempre un polinomio di grado k + 1 nella variabile n.
E' poi possibile vedere che due delle altre tre risposte proposte per il quesito assegnato all'esame di Stato sono effettivamente in relazione con somme Sn,k.


Risulta infatti:



[*] Dirigente scolastico a riposo r.brunetti@liceomajoranais.it