17 - Ipotesi sulla composizione di un'urna.
 
Un'urna (va bene anche un sacchetto) contiene delle biglie, identiche tra loro, tranne che per il colore; non sappiamo né quante sono le biglie, né quanti colori diversi sono presenti, né in che percentuale. Un bimbo bendato procederÓ ad estrarre una delle biglie, rimettendola subito dopo nell'urna.

Ci viene consentito di chiedere tutte le estrazioni che vogliamo, annotando il colore della biglia estratta. Prima di ogni estrazione le biglie vanno rimescolate per bene. Quale delle seguenti possibilità si hanno?

  1. sapere quante biglie vi sono nell'urna;
  2. sapere quanti diversi colori vi sono;
  3. sapere quante sono le biglie di ciascun colore;
  4. sapere in che percentuale sono distribuiti i vari colori;

Evidentemente non si può rispondere alla prima domanda, in quanto una stessa biglia può essere estratta più volte e non abbiamo modo di sapere quante volte Ŕ capitato.

La terza domanda è analoga alla prima: se sapessimo quante palline dei vari colori ci sono nell'urna, sapremmo anche quante sono in tutto.

La seconda risposta può essere fornita con una certa attendibilità dopo aver fatto parecchie estrazioni, ma, se fra le biglie ce n'è qualcuna molto rara, che finora non è stata estratta, non potremo saperlo se non continuando ad estrarre indefinitamente, sperando che prima o poi si decida a venir fuori.

L' ultima risposta è facile da ottenere; la legge dei grandi numeri ci dice che, con un gran numero di estrazioni, le frequenze relative (cioè le percentuali) delle biglie dei vari colori estratti sono molto prossime alle rispettive probabilità. Tali probabilità sono stimabili in base ai rapporti tra il numero di palline estratte di ciascun colore e il numero di totale di palline estratte: proprio i rapporti cercati.