Il sudoku
Strategie ed esempi per imparare a risolvere il gioco

 
di Vittorio De Petris 21-01-2015

1 - Regole del gioco e terminologia.
Prima o poi quasi tutti abbiamo visto pubblicato su quotidiani o riviste il classico schema di 9x9 caselle, che i giapponesi chiamano sudoku (numero singolo), a significare che ad ogni casella dello schema può essere assegnato un solo numero, ad esclusione di qualunque altro. Alcune caselle contengono già un numero (compreso tra 1 e 9), che non può essere modificato. Scopo del gioco è quello di scoprire quali numeri vanno messi nelle rimanenti caselle vuote.
Non so se sia esatta la traduzione dal giapponese del termine sudoku, poiché, dal punto di vista matematico, più che di numeri, bisognerebbe parlare di cifre. Gli elementi dei sudoku sono infatti privi delle caratteristiche proprie dei numeri, non avendo alcun valore cardinale (non rappresentano una quantità) né ordinale (non stabiliscono un ordine). Sono solo caratteri diversi l'uno dall'altro, tanto che al loro posto potremmo usare un qualsiasi altro simbolo, ad esempio le lettere dell'alfabeto: la sostanza del gioco non cambierebbe. Nel riempire le caselle vuote (sempre con cifre comprese tra 1 e 9), oltre che lasciare invariate le cifre già inserite va rispettata anche la regola per cui ogni riga, ogni colonna e ogni riquadro di 3x3 caselle (dai bordi più marcati) deve contenere tutte le cifre da 1 a 9, non importa in quale ordine. E' implicito nella regola stessa la seguente ulteriore regola : nessuna cifra può essere contenuta più di una volta in ciascuna riga, colonna o riquadro. Essendo disponibili solo 9 caselle per riga, e altrettante nelle colonne e nei riquadri, se venisse inserita due volte una stessa cifra, resterebbe esclusa una delle otto rimanenti, in contraddizione con la regola iniziale. Se consideriamo invece l'intero schema, tutte le cifre sono contenute esattamente 9 volte ciascuna.
Prima di iniziare i principali passi della strategia di gioco, è bene fissare il significato di alcuni termini:
Schema o griglia: è l'insieme di tutti gli 81 quadratini che formano il sudoku (figura in alto).
Casella o cella : è un singolo quadratino
Riga: è l'insieme di 9 caselle disposte su una stessa orizzontale.
Colonna: è l'insieme di 9 caselle disposte su una stessa verticale.
Riquadro: è l'insieme di 3x3 caselle che formano ciascuno dei 9 quadrati dai bordi marcati in cui è suddiviso lo schema.
Striscia orizzontale: è una fila di tre riquadri, disposti su una stessa orizzontale.
Striscia verticale: è una fila di tre riquadri disposti su una stessa verticale.

2 - Gli strumenti.
Matita e gomma per cancellare, penna o pennarello. Si inizia con matita e gomma, scrivendo all'interno delle caselle vuote una o più cifre che si ritiene di poter candidare, cancellando via via le cifre che, nel corso del gioco, risulteranno incompatibili con le altre cifre già inserite nello schema, fino a che in essa non resta che una sola cifra possibile. Se siamo certi di averla individuata, potremo fissarla a penna o col pennarello, cancellando le precedenti cifre scritte a matita nella cella stessa. Molto utili sono i margini bianchi al di fuori dello schema: potranno servire a scrivere l'elenco delle cifre mancanti nelle varie righe o colonne, facilitando la ricerca delle soluzioni. Una volta individuata la cifra da inserire definitivamente in una cella, essa sarà cancellata dai suddetti elenchi , in corrispondenza delle cella considerata. Personalmente preferisco copiare il Sudoku su un foglio Excel, debitamente formattato, in cui le cancellazioni, gli inserimenti e le modifiche si possono fare semplicemente dalla tastiera, senza dover usare la gomma, che lascia sempre qualche traccia. Per inciso, tutte le figure inserite in questo testo, sono state copiate direttamente dal foglio elettronico, mediante un programma di grafica.

3 - Il principio di incompatibilità.
Tra le regole fissate all'inizio, ricordiamo, in particolare, quella per cui una cifra non può essere scritta più di una volta all'interno di una riga, di una colonna o di un riquadro ai quali appartiene la cella medesima.
Nella figura a lato, è presente il 6 in una cella del riquadro in basso a sinistra.
Definiamo ora il principio di incompatibilità, scaturito dalla regola suddetta, in base al quale non è più possibile inserire un altro 6 nello stesso riquadro, nella stessa riga e nella stessa colonna, cioè in nessuna delle celle indicate in rosso nella figura a lato.
In pratica, un cifra inserita in un sudoku mantiene bloccate altre 20 caselle (le altre 8 del riquadro, più le altre 6 della stessa riga e le altre 6 della stessa colonna, nelle quali non potrà essere messa di nuovo tale cifra.

4 – Strisce verticali e strisce orizzontali: non c'è due senza tre.
Le righe orizzontali e verticali tracciate con linee più spesse, suddividono lo schema in tre strisce verticali e tre strisce orizzontali. Ogni striscia è formata a sua volta da tre riquadri di 3x3 caselle. Dato che ogni riquadro contiene tutte le cifre da 1 a 9, in ogni striscia tutte le cifre devono essere ripetute tre volte, purché su righe, colonne e riquadri differenti.
  Da queste osservazioni, e dal principio di incompatibilità, scaturisce una delle strategie più facili da usare: Se una striscia contiene due volte una stessa cifra (una coppia di 6 nelle due figure a lato), in essa deve esserci una terza cella in cui andrà messa la terza cifra. Dove si trova tale cella? Certamente non nei due riquadri che già ne contengono una. Neppure lungo le stesse righe o colonne in cui le due cifre sono presenti (non in zona rossa!).
A questo punto non restano che tre sole celle dove poter inserire la terza cifra mancante, indicate in giallo nelle due figure a lato. La prima si riferisce ad una striscia verticale, la seconda ad una striscia orizzontale. E' il presupposto per poter applicare la regola che chiameremo "non c'è due senza tre" che andiamo ora ad esaminare.
  Non è detto che tutte e tre le celle gialle possano essere candidate ad ospitare il terzo 6. Qualcuna di esse potrebbe essere già occupata, come si vede nelle due figure a lato. Nella seconda di esse le celle occupate sono due, rispettivamente dall'8 e dal 2. Resta quindi una sola cella disponibile per ospitare il terzo 6, quella gialla, in cui andremo subito a scrivere 6.
Abbiamo appena individuato una strategia per cominciare a risolvere un sudoku. E' il nostro primo passo.

  Una situazione analoga si verifica nel caso in cui la presenza di uno o più 6 nelle righe o colonne adiacenti al riquadro con le celle gialle fa si che qualcuna di esse sia da considerare indisponibile. Nella seconda figura, data la presenza di due 6, c'è di nuovo una sola cella disponibile per collocare il terzo 6. Le figure si riferiscono a strisce verticali, ma lo stesso discorso può essere fatto in caso di strisce orizzontali. Siamo al secondo passo della strategia.

  Le due strategie appena viste possono anche combinarsi tra loro, nel caso in cui una delle tre celle gialle teoricamente disponibili una sia già occupata (dal 5) e l'altra sia bloccata da un 6 presente nella riga adiacente (figura di sinistra) o nella colonna sovrastante (figura a destra). Ancora una volta resta una sola cella (quella gialla) dove poter mettere il terzo 6. Ora i passi delle strategia sono diventati tre, tutti originati dalla presenza di una coppia di cifre uguali lungo una striscia, abbinata ad altre situazioni di incompatibilità.
Le tre strategie possono essere raggruppate in una unica regola, che chiameremo del "non c'è due senza tre". Tale strategia va applicata a ciascuna delle tre strisce verticali e a ciascuna delle tre strisce orizzontali e costituisce quasi sempre il primo passo nella risoluzione di un sudoku.
Nel corso del gioco, tutte le volte riusciamo ad inserire un nuova cifra, occorrerà poi dare uno sguardo sia alla striscia verticale sia in quella orizzontale in cui si trova le cella appena riempita. Potrebbe esserci un'altra cifra uguale e ciò renderebbe di nuovo applicabile la nostra strategia.

5 - I candidati. Solitari, doppiette, triplette, ecc.
Una volta esaurite tutte le possibilità di applicare la regola delle coppie nelle strisce, si passa a scrivere (a matita), all'interno di ciascuna cella vuota, le possibili cifre candidate ad occupare tale posto: si tratta di tutte quelle cifre che non sono già contenute nel riquadro, nella riga e nella colonna relativi alla cella presa in esame. Tale compito sarà facilitato se ai margini dello schema avremo scritto l'elenco delle cifre mancanti nelle varie righe e colonne.
Per ragioni di economia, è preferibile iniziare dalla righe, colonne e riquadri con il maggior numero di celle già occupate, riducendo in tal modo il numero dei possibili candidati nelle celle rimanenti. E' un lavoro molto delicato: un errore potrebbe compromettere l'intera strategia di gioco. Mentre si esaminano i candidati scorrendo l'elenco delle cifre mancanti di una colonna, occorrerà tener d'occhio le cifre già presenti nel riquadro e nella riga in cui si trova la cella presa in esame. Dobbiamo evitare di inserire cifre non ...candidabili, per la presenza di cifre analoghe nella riga o nel riquadro corrispondenti alla cella. Lo stesso vale se siamo esaminando i candidati per una cella di una certa riga , in cui dovremo tenere d'occhio anche le cifre nel riquadro e nella colonna corrispondenti alla cella che stiamo considerando. Il cane Cerbero, avendo tre teste, sarebbe facilitato in tale compito. Noi dovremo cercare di usare al meglio i soli due occhi a nostra disposizione, mantenendo alta la concentrazione!
Una volta completato l'elenco di tutti i candidati nelle varie celle, potremmo accorgerci che qualche cifra è stata candidata una sola volta, all'interno di una determinata riga, colonna o riquadro. Poiché non vi sono alternative, potremo tranquillamente escludere tutti gli altri candidati per la suddetta cella e scrivere in essa la cifra solitaria. La caccia riprenderà, dopo aver eliminato la cifra  dagli elenchi di quelle mancanti riportati lungo i margini esterni dello schema e dagli elenchi dei candidati presenti nelle rimanenti celle della riga, della colonna e del riquadro in cui essa è stata scritta. Esaurita anche tale possibilità, si andrà a caccia di doppiette, triplette, ecc.
Di che si tratta? Definiamo doppietta una coppia di cifre candidate che si presentano in due sole celle della stessa riga, o in due sole celle della stessa colonna o in due sole celle dello stesso riquadro. A questo punto abbiamo una certezza: se un cifra della coppia va ad occupare una delle due celle, la seconda cifra della coppia occuperà l'altra. Si tratta della classica vicenda dei due piccioni con una fava. In attesa di chiarire nel corso del gioco quale delle due celle assegnare a ciascuna cifra della nostra doppietta, cancelleremo dai candidati delle suddette due celle tutte le altre cifre estranee alla coppia. Esse dovranno cercarsi il posto in una delle altre celle disponibili. Analogamente una tripletta sarà costituita da tre cifre presenti solo in tre celle della stessa colonna o della stessa riga o dello stesso riquadro. In ciascuna delle tre celle si potranno cancellare tutti gli altri eventuali candidati presenti. Il discorso è analogo nel caso di quartetti, quintetti, ecc. Questo meccanismo di esclusione, unito al principio di incompatibilità visto in precedenza riduce il numero di candidati nelle varie celle, fino a rendere possibile che in qualcuna di esse resti un solo candidato, che andrà scritto definitivamente nella cella stessa, usando il pennarello.
Come abbiamo già detto, ogni volta che una cella viene definitivamente occupata da una determinata cifra, si cancella tale cifra dagli elenchi di quelle mancanti, scritti a matita sui margini esterni allo schema. Di conseguenza andranno cancellati anche dagli elenchi di candidati delle rispettive righe, colonne o riquadri.
A questo punto si possono ripetere le procedure descritte nei paragrafi. 3, 4 e 5. Un po' alla volta, con pazienza e attenzione, si sistemeranno ulteriori cifre, restringendo ogni volta il numero di candidati nelle celle rimaste. Se tutto va bene, si andrà verso una progressiva accelerazione e le celle si andranno riempiendo con rapidità sempre maggiore, fino ad arrivare alla soluzione.

6 – Il metodo dei tentativi ed errori nelle situazioni di stallo
Non sempre le cose filano lisce. Può capitare di trovarsi in una situazione di stallo: abbiamo completato l'elenco dei candidati all'interno di ogni cella, ma non riusciamo a scovare una situazione che ci consenta di prendere decisioni definitive. Non resta che procedere per tentativi. Potremmo ad esempio prendere in esame una coppia di celle da assegnare ad una doppietta, oppure una cifra solitaria che sia candidata solo due volte in una riga o colonna o riquadro. Non abbiamo elementi per decidere quale delle due celle assegnare alla coppia o al solitario. Decidiamo allora di fare un tentativo, assegnando d'ufficio le due celle a ciascun elemento della coppia o una delle due celle al solitario. Terremo presente la situazione della riga, della colonna e del riquadro prossimi alle due celle prese in esame, così come un giocatore di scacchi che esamina tutte le possibili contromosse prima di muovere un pezzo. Sceglieremo la via che ci sembrerà più produttiva ai fini del proseguimento dei gioco. Non è detto che la via più promettente sia quella buona, ma è sempre meglio così, piuttosto che affidarci solo al caso. Una volta assunta la decisione, si riprende il gioco. Nella maggior parte dei casi si riesce a superare lo stallo e il gioco riprende vigore. L'aver eliminato dei candidati, ormai sistemati, sia pure in via provvisoria, riduce la lista dei candidati nelle altre celle e si scopre che in alcune di esse resta di nuovo un solo candidato. Se la scelta fatta è stata quella giusta, si potrà arrivare a completare l'intero schema. Se invece avremo fatto la scelta sbagliata, la natura stessa del sudoku (che ricordiamo significa numero singolo) finirà per portarci ad una situazione contraddittoria: ad esempio in una certa cella andrebbe messa per forza una certa cifra, ma nel corso del nostro tentativo essa ha già trovato posto in un'altra cella della riga, colonna o riquadro e non è quindi possibile inserirla una seconda volta.
Gli avvocati, che amano le dotte citazioni in latino, ci ricordano che "electa una via, non datur recursus ad alteram". Nel nostro caso, per fortuna, tale principio non vale. Potremo sempre riprendere dal punto in cui eravamo, prima di fare il nostro tentativo. L'aver scelto di lavorare su due sole possibili celle, ci facilita il compito: se prima avevamo sistemato le cifre in un certo ordine nelle due celle, basterà invertire l'ordine, assegnando al contrario le due celle a ciascuna cifra della doppietta o assegnando alla cifra solitaria l'altra cella disponibile. Questa volta siamo certi di non sbagliare: se ci sono due soli modi per sistemare due caselle, sicuramente uno di essi è quello giusto. Non è detto che questa volta arriveremo, senza ulteriori intoppi, fino alla soluzione del sudoku. Mi è capitato di trovare situazioni piuttosto complesse, in cui è stato necessario usare più di una volta il metodo dei tentativi ed errori, prima di sbloccare definitivamente una situazione di stallo. Il sudoku è un gioco di abilità, di intuizione, ma anche di pazienza. L'aver scelto di usare il foglio elettronico mi ha facilitato il compito: prima di fare ogni tentativo ho salvato sull'hard disk del computer la situazione in cui mi trovavo in quel momento. In caso di tentativo andato a male, mi bastava chiudere il file senza ulteriori salvataggi e poi ricaricare di nuovo il file così come era stato salvato prima del tentativo. Chi preferisce usare matita e gomma avrà un po' più di difficoltà.

7 – Passiamo al pratica. Un sudoku facile, tanto per cominciare.
Andiamo in edicola e chiediamo una delle varie pubblicazioni riservata al sudoku. Le migliori sono quelle realizzate senza computer dai maestri giapponesi. Il loro stile è riconoscibile dalla perfetta simmetria (rispetto alla cella centrale) con cui sono disposte le varie cifre assegnate inizialmente in ciascuno schema. I vari giochi sono spesso raggruppati a seconda del loro grado di difficoltà, dovuto principalmente al numero di celle con le cifre già assegnate, ma anche al modo in cui le stesse sono state scelte. Per il nostro primo contatto, sceglieremo un sudoku facile, con 31 cifre già inserite. Per risolverlo dovremo trovare le 50 cifre mancanti. Abbiamo colorato in giallo le celle già assegnate, per distinguerle da quelle che inseriremo nel corso del gioco. Come già suggerito in precedenza, useremo i margini bianchi attorno allo schema per scrivere gli elenchi delle cifre mancanti nelle varie righe o colonne. In caso di necessità, scriveremo a parte anche gli elenchi delle cifre mancanti in qualche riquadro.
Consigliamo ai lettori di copiare lo schema su un foglio a quadretti (grandi) e di procedere insieme a noi.

Per cominciare, useremo la regola del "non c'è due senza tre" a partire dalle tre strisce verticali.
Nella prima striscia sono presenti due 8 nei due riquadri più in basso. Il terzo 8 va quindi messo in una delle tre celle verticali al centro del riquadro in alto (vedi principio di incompatibilità al § 3) . Due di esse però sono bloccate dagli 8 già presenti in celle adiacenti della seconda e terza riga . Non resta che una sola cella disponibile (azzurra), in cui scriveremo il terzo 8.
Allo stesso modo, essendoci anche due 3 nella stessa striscia , metteremo il terzo 3 nella cella arancione, poiché delle altre due celle una è già occupata dal 6 e l'altra è bloccata dal 3 presente nella riga in basso. C'è anche una coppia di 9 nella striscia verticale. Il terzo 9 andrà per forza nella cella verde, l'unica rimasta disponibile nella colonnina centrale del secondo riquadro.
Nella striscia verticale centrale le coppie di 2, di 5, di 6 e di 9, faranno disporre i rispettivi terzi elementi nelle celle arancione (per il 2), azzurro (per il 5), verde (per il 6) e violetto per il 9.
Basta osservare in ciascun caso la presenza di cifre uguali a quella da inserire, nelle righe orizzontali contigue alle celle vuote disponibili. Passiamo alla terza striscia verticale. Le coppie di cifre uguali sono i 2 e gli 8, che andranno ad occupare rispettivamente la celle arancione (l'unica vuota) e azzurra, poiché l'altra cella vuota è bloccata da un 8 già presente nella riga corrispondente.
Prendiamo ora in esame le tre strisce orizzontali. Quella più in basso contiene una coppia di 3. L'ultimo 3 andrà nella prima cella (arancione) del riquadro centrale poiché la seconda è bloccata dalla presenza di un 3 nella colonna centrale.
L'aver messo un 3 nel riquadro centrale in basso, fa si che ora, nella striscia verticale centrale sia presente un coppia di 3: quello appena messo nella cella arancione e quello già presente nel riquadro centrale. In tale striscia verticale sarà ora possibile sistemare un ulteriore 3 nella cella azzurra in alto.
Torniamo alla terza striscia orizzontale: avendo occupato con il 3 la  cella arancione, resta una sola cella, quelle verde, in cui sistemare il terzo 8 della striscia, che ne contiene già altri due.
 La seconda striscia orizzontale contiene una coppia di 2 e una di 8. Il terzo 2 e il terzo 8 andranno rispettivamente nella cella arancione e in quella verde, le uniche disponibili nelle rispettive file. Esaminando infine la  prima striscia orizzontale: avendo messo un 3 nella cella azzurra abbiamo ora una coppia di 3. Possiamo così mettere il terzo ed ultimo 3 nella cella rosa del riquadro a destra.

La regola del "non c'è due senza tre" ha per ora esaurito il suo compito (probabilmente la useremo di nuovo più in là).
Passiamo ora a trovare i candidati da inserire nelle rimanenti celle vuote. E' bene iniziare dalla righe, colonne e riquadri con il con il minor numero di celle vuote da riempire Nella prima riga in alto ci sono due celle vuote, indicate in arancione. Le cifre mancanti sono il 4 e il 7. La prima delle due celle arancione non può contenere il 7, già presente nella colonna: Metteremo così il 4 nella prima cella e il 7 nella seconda.
Il secondo riquadro in alto ha ora una sola cella vuota (grigia), in cui scriveremo l'ultima cifra che ancora manca: il 4.
Il riquadro centrale ha anch'esso due celle vuote (verdi). Le cifre mancanti sono di nuovo il 4 e il 7. La cella verde in alto non può contenere il 4, già presente nella riga. Allora in essa andrà messo il 7, completando con il 4 la seconda cella verde. Anche riquadro in basso ha due celle vuote (violette). Mancano ancora una volta il 4 e il 7: il nostro autore non aveva molta fantasia!
C'è già un 7 nella prima colonna. Non potendo mettere un altro 7 in questa colonna, dovremo scrivere 4 nella cella violetta in alto e 7 in basso. Prima di procedere con i prossimi tentativi rivediamo rapidamente la situazione dopo l'inserimento delle ultime cifre. Ad un occhio attento non sfuggirà la presenza di una nuova coppia: i due 4 nella striscia orizzontale centrale (uno giallo e uno verde). Per sistemare il terzo 4, è disponibile solo la prima cella azzurra, essendo la terza cella indisponibile per la presenza di un 4, nella colonna.
Riprendiamo l'esame delle candidature, procedendo come al solito dalle righe, colonne e riquadri col minor numero di celle da riempire.
Il riquadro centrale a sinistra ha due celle vuote (verdi) e i numeri mancanti sono l'1 e il 5. Essendo già presente un 5 sulla prima riga, in essa andrà per forza l'1, mettendo subito dopo il 5 nella cella verde rimasta.
Ora la riga centrale ha due celle vuote (violette). Le cifre mancanti di questa riga sono l'1 e il 7. Essendo già presente l'1 nella colonna più a destra, dovremo mettere il 7 nella cella violetta a destra e l'1 nell'altra a sinistra.
Anche la prima colonna presenta due celle vuote (azzurre) e in essa mancano il 6 e il 7. Un 6 è già presente nella seconda riga della striscia, perciò metteremo il 7 in basso e il 6 in alto.
La terza striscia verticale ha due celle vuote (arancione). Le cifre mancanti sono il 9 e il 6. La presenza di un 9 nella riga in basso e di un 6 nella seconda riga, ci obbliga a mettere il 9 in alto e il 6 in basso. Ci siamo cimentati finora con colonne, righe o riquadri in cui mancano sono due celle da riempire. Potremmo continuare con tale strategia.
Trattandosi di un'esercitazione, vogliamo provare a riempire 3 celle in una volta, ad esempio le tre celle grigie in basso. Le cifre mancanti sono il 2 il 5 e il 7. Il 2 andrà per forza nella prima cella grigia, essendo già presente un 2 nel terzo riquadro a destra. Il 7 e il 5 andranno nella seconda e nella terza cella grigia, poiché la prima colonna  della striscia verticale contiene già un 5 in alto e ci obbliga a mettere il 7 nella cella grigia di tale colonna. Proviamo ancora con le tre celle rosse, ancora vuote nella terza colonna da sinistra. In questa colonna mancano l'1 il 2 e il 6. Il riquadro in basso contiene già un 2 e un 6, quindi  nella cella rossa in basso possiamo mettere solo l'1. Nelle due celle rosse in alto, il 2 dovrà occupare la celle più bassa, essendo indisponibile quella in alto, sulla cui riga c'è già un 2. La cella rossa rimasta andrà al 6.
Siamo agli sgoccioli finali. Non restano che 12 celle da riempire. Cominciamo dalle due celle arancione in basso. E' facile inserire il 5 e il 4 mancanti, vista la presenza di un 5 nell'ultima riga: in basso il 4 e in alto il 5. Nelle celle verdi in alto dobbiamo sistemare l'1 e il 7 mancanti. C'è già un 1 nella riga in basso, quindi il 7 andrà nella cella verde più bassa e l'1 in quella più alta. Le due celle azzurre in alto a destra dovranno ospitare il 7 e il 9. C'è già un 7 nell'ultima colonna e un 9 nella penultima. All'inverso, metteremo il 9 nell'ultima cella azzurra e il 7 nella penultima.
La settima colonna presenta due celle vuote in rosso, riservate al 6 e al 9. C'è già un 9 nell'ultima riga e un 6 nella penultima. Quindi il  6 andrà in basso e il 9 in alto. Per completare l'ultimo riquadro della striscia in basso mancano le due celle violette, nelle quali dovremo inserire il 4 e l'1 mancanti. C'è già un 1 nella penultima riga e un 4 nell'ultima, perciò, all'inverso, l'1 andrà in basso e il 4 in alto.
Le ultime due celle da riempire per completare lo schema sono quelle grigie in alto, dove metteremo il 6 e il 4 mancanti ancora all'appello. Osservando il 6 nell'ultima colonna e il 4 nella penultima, metteremo il 6 a sinistra e il 4 a destra. Abbiamo risolto un sudoku di quelli facili. E' ora il momento di affrontarne uno più difficile.

8 – Aumentiamo il livello di difficoltà.
A prima vista non sembra che il nuovo sudoku sia più difficile del precedente. Le caselle già inserite (gialle) sono 30, appena una in meno di prima. Tuttavia, come abbiamo detto, la difficoltà non dipende solo dal numero di celle da riempire, ma anche da come sono state scelte e disposte le cifre iniziali.
Questa volta decidiamo di partire dalla striscia orizzontale centrale, che presenta due righe con soli tre elementi mancanti. Nelle tre celle verdi vanno inseriti il 2, il 4 e il 9, che mancano nella riga. Il 2 non può essere messo nelle due celle a destra, che presenta già un 2 nel riquadro. Metteremo quindi il 2 nella prima cella verde. Il 9 non può occupare la terza cella, essendo bloccato da un altro 9 posto in cima alla colonna. Nella terza cella andrà quindi il 4, con il 9 alla sua sinistra, per completare la riga.
Nella prima riga della striscia possiamo piazzare solo il 3 nella cella azzurra, non potendo metterlo nel primo riquadro, che ha già un 3.
Le altre due cifre mancanti sono 7 e 9, che saranno candidate nelle rimanenti due celle. La striscia centrale ha anche una coppia di 6. Il terzo 6 andrà nella cella rosa, non potendo occupare le altre due celle a sinistra, bloccate da altri 6 presenti nelle rispettive colonne. Per completare il lavoro,scriviamo i candidati nelle rimanenti celle della riga centrale. Nel primo riquadro mancano 1, 2 e 4. Nella terza colonna sono già presenti 1 e 2, quindi la casella libera (grigia) andrà al 4 , mentre 1 e 2 saranno candidati nelle prime due celle. Resta da completare il terzo riquadro, in cui i candidati sono 3, 5 e 7, togliendo il 5 nella prima cella e il 3 nella terza, gia presenti nelle rispettive colonne.
Riprendiamo la regola del "non c'è due senza tre", cominciando dalle strisce verticali. Nella prima striscia c'è una coppia di 6; il terzo 6 va nella cella rosa, non potendo occupare la cella più in basso, bloccata da un altro 6 nella stessa riga.
La striscia verticale centrale non ha coppie. La terza striscia ha una coppia di 6. Il terzo 6 andrà nella cella verde, essendo l'altra in basso bloccata da un 6 a sinistra sulla terza riga. La terza striscia verticale ha anche una coppia di 8, ma non possiamo decidere dove mettere il terzo, poiché entrambe le celle dell'ultima colonna del riquadro in alto sono libere e dobbiamo attendere che una delle due venga occupata, per poi mettere l'8 nell'altra.
Esaminiamo ora le strisce orizzontali, tranne la centrale, che è stata completamente esaminata all'inizio. Le altre due strisce orizzontali non presentano purtroppo alcuna coppia di cifre e la nostra regola non trova alcuna applicazione.

A questo punto, esaurite le possibilità delle strategie finora adottate, cominciamo ad assegnare alla celle vuote i vari candidati. Cominceremo dalle colonne e dalle righe con il minor numero di cella da riempire, scrivendo in ciascuna cella libera i candidati che non siano da escludere per incompatibilità (cifre analoghe nella stessa riga, colonna o riquadro). Cominciamo dalla terza colonna, i n cui mancano  7, 8 e 9. Escludiamo il 7 nella cella più bassa (ce n'è gia uno nel riquadro) e l'8 già presente nel riquadro centrale.  Non staremo a ripetere questo discorso per le altre colonne e righe. Mettiamo dunque 1, 7 , 8 e 9 nella sesta colonna, quindi 1, 3, 4 e 7 nella settima.  Nell'ottava colonna dobbiamo inserire 1, 3 , 5 e 7 ma ci aspetta una piccola sorpresa. Nella cella verde in basso non possiamo mettere né il 5 (ce n'è uno nel riquadro), ne il 3 e il 7 (presenti nell'ultima riga). L'unico che può occupare la cella verde è l'1. Subito dopo possiamo mettere anche il terzo 1 nella cella rossa in alto e, a seguire, il terzo 1 nella cella arancione della striscia orizzontale.
Non è finita: ora possiamo mettere in terzo 1 anche nella cella azzurra della striscia verticale centrale. Completiamo infine la nona riga, mettendo nelle celle vuote i candidati 2, 5, 8 e 9 e togliamo l'1 dalle liste di candidati nelle colonne e nei riquadro relativi alla cella verde, rossa e arancione e azzurra.
Nella settima riga dovremo sistemare  2, 3, 7 e 9 nelle celle fucsia. Nelle prime due celle possiamo mettere solo il 3 e il 9, essendo già presenti 2 e 7 all'interno del riquadro. Il 3 non può andare nella seconda, quindi metteremo nell'ordine 3 e 9. Restano il 2 e il 7. Non potendo mettere un altro 2 nella sesta colonna, metteremo in questa il 7 e all'ultima cella libera il 2.
Abbiamo completato la settima riga, ma c'è ancora del lavoro da fare. L'inserimento delle nuove cifre consente di mettere un 8 nella cella verde, un 9 in quella azzurra, un altro 9 in quella grigia e un 8 in quella rossa. Per finire metteremo nell'ordine il 7 e il 9 nelle celle rosa del quarto riquadro e un ulteriore 7 nella cella rosa del primo riquadro.
Prima di andare ad esaminare i candidati relativi alle celle vuote rimaste, è bene dare una "ripulita" ai candidati scritti in precedenza, eliminando quelli incompatibili con le cifre appena inserite.
Inseriamo poi nella seconda colonna i candidati 1, 2, 5 , 8, nella nona colonna i candidati 4, 5, 7, 8 ed infine i candidati nelle celle vuote nel secondo (2-5-7-9), settimo (1-5) e nono (3-4-7) riquadro.

Osserviamo nella prima riga la presenza della doppietta 2-5. I rimanenti candidati sono il 4 e il 7, che andranno nelle celle rosse di tale riga. Non potendo andare nel primo riquadro, il 7 andrà ne terzo e il 4 nel primo.
Si apre ora una lunga catena di eventi,contrassegnati dalle celle rosse:
3 e 4 nelle celle rosse della settima colonna.
3 e 7 nell'ultimo riquadro.
5 e 7 nell'ottava colonna.
4, 5, 7 e 8 nella nona colonna.
8 nella cella verde, 9 nella violetta, 9 e 8 nelle celle azzurre.
Come al solito, dopo l'inserimento di cifre definitive, occorre ripulire dai loro doppioni i candidati nelle celle contigue .

Siamo alle fasi finali. Cominciamo dalle celle lilla:
nel secondo riquadro: 2, 5 e 7;
nell'ottavo riquadro: 2 e 5;
nel primo riquadro: 5, 8 e 9;
nel settimo riquadro: 1 e 5
nel  quarto riquadro: 1 e 2;
Resta un sola cella ancora da assegnare:  quelle rossa in cui metteremo l'ultima cifra mancante: il 2.
Abbiamo così completato un sudoku di secondo livello, che ha richiesto molta concentrazione, usando alternativamente le varie strategie descritte nella parte teorica.  Pur non avendo tre teste, come Cerbero, abbiamo tenuto d'occhio contemporaneamente una riga, una colonna e un riquadro, prima di scrivere i candidati nelle varie celle. Abbiamo escluso dai candidati le cifre ancora presenti, incompatibili con le nuove cifre inserite nel corso del gioco.
Per chi è alle prime armi è consigliabile procedere con molta calma. Ad andare più in fretta  c'è tempo dopo, quando la maggior esperienza farà scoprire subito la via da seguire.

9 – Come superare una fase di stallo.
Abbiamo avviato a soluzione un sudoku apparentemente facile, avendo già 31 celle assegnate inizialmente. Usando le solite strategie, che non stiamo qui a ripetere, siamo riusciti a definire altre 33 celle, per un totale di 64. Ne mancano solo 17 per arrivare alla fine, ma siamo in una situazione di stallo. Le celle da sistemare presentano i loro candidati, ma non s'intravede nessuna strada per andare avanti.
Per cercare superare il blocco, prendiamo in considerazione le due celle del secondo riquadro, i cui candidati sono 2 e 7.  Per decidere dove mettere il 2 e dove il 7, diamo uno sguardo alle celle dei riquadri inferiori. Ci sembra che le due scelte siano entrambe promettenti, quindi, senza porre ulteriori indugi, decidiamo di mettere il 2 nella prima casella e il 7 nella seconda.
Vediamo quali saranno gli esiti della nostra scelta.

Le due celle verdi  con il 2 e il 7 sono il frutto della nostra scelta. Da questa derivano i successivi passi, indicati dalle celle violette:
Quarta colonna: 1 e 7.
Quinta colonna: 6, 4 e 2.
Sesta colonna: 2 e 4.
Settima colonna: 2 e 4.
Quarto riquadro: 1, 2 e 4.
Alt! Si è acceso il semaforo rosso in una cella del settimo riquadro.
In tale cella dovrebbero andare o l'1 o il 4, ma  nessuno dei due può essere inserito, poiché c'è un 1 sulla riga e un 4 sulla colonna.
Siamo arrivati ad una contraddizione, quindi la nostra scelta iniziale era sbagliata. Non ci resta che ricominciare da dove eravamo partiti, invertendo le cifre da assegnare alla due celle verdi.

Ora nelle celle verdi compaiono le nuove cifre 7 e 2, con l'ordine invertito rispetto alla scelta precedente.
Riprendiamo il percorso da qui, seguendo sempre le celle violette:
Quarta colonna: 1 e 2.
Quinta colonna: 4, 6, 7.
Sesta colonna: 2, 4.
Settimo riquadro: 1, 6 e 4;
Quarto riquadro: 1, 2, 4.
Settima colonna: 2, 4.
Fine del sudoku.
E' anche la conclusione della nostra dispensa. Spero che sia stata di aiuto ai lettori e che permetterà loro di affrontare con sicurezza i prossimi sudoku, che avranno voglia di risolvere da soli.

Vittorio De Petris

P.S.Per chi è interessato ai giochi con i numeri, è disponibile la dispensa Il gioco del futoshiki con un nuovo gioco, sempre giapponese.